随机过程
定义
首先要有一个概率空间 \((\Omega, \mathcal F, P)\)，其中，\(\Omega\) 是样本空间，\(\mathcal F\) 是（与之后要定义的概率测度相容的）\(\sigma-\)代数，\(P\) 是一个概率测度。
其次，要有一族随机变量 \(\{\xi_t\}\)，由指标集 \(T\) 索引。
从而，随机过程可以表示为：
\[
\{\xi_t(\omega): t \in T\}
\]
随机变量的定义
- 在测度空间 \((\Omega, \mathcal F, P)\) 的意义下的可测函数（i.e. \(\xi: \Omega \to \mathbb R\), \(\forall b \in \mathcal B(\mathbb R): \xi^{-1}(b) \subseteq\mathcal F\)）
- \(\forall x \in \mathbb R, \{\sigma \in \Omega | \xi(\sigma) \leq x\} \subseteq \mathcal F\)
容易证明，两种定义是等价的。
因为：
-
1 => 2：显然
-
2 => 1：
\[ \begin{array}{l} \forall a \in \mathbb R: (-\infty, a) = \cup_{i=1}^\infty [a + \frac 1 n, +\infty)\\ \forall a \in \mathbb R: (a, +\infty) = \mathbb R - [-\infty, a]\\ \forall a,b \in R: (a,b) = (-\infty, b) \cap (a, +\infty) \end{array} \]
也就是说，随机变量把事件封装在实数里面，从而表示、操作起来更方便。
例子
泊松过程
泊松过程的 \(T\) 为 \(\mathcal L(\mathbb R)\)（\(\mathbb R\) 的 Lebesgue 集合）。且满足：
- 若 \(t_1 \cap t_2 = \emptyset\)，那么 \(\xi_{t_1}\) 与 \(\xi_{t_2}\) 互相独立
- \(\text{im } \xi_t = \mathbb N\)
-
对于任何 \(t \in \mathcal{L}(\mathbb R)\)
\[ P[\xi_t = k] = \frac {e^{-\lambda |t|}(\lambda |t|)^k} {k!}, \text{for }k \in \mathbb N \]其中，\(|t|\) 为可测集 \(t\) 的勒贝格测度
特别地，对于 \(t = [x,x+\tau]\)
\[ P[\xi_{[x,x+\tau]} = k] = \frac {e^{-\lambda \tau}(\lambda \tau)^k} {k!}, \text{for }k \in \mathbb N \]
伯努利过程
伯努利过程的 \(T\) 为 \(\mathbb Z_n\) 或者 \(\mathbb N\)。但无论如何是有限或者可数无穷的，也就是离散的。
满足：
- 若 \(t_1 \neq t_2\)，那么两者互相独立
- 更普遍的，若干个不相同的 \(t\) 均可互相独立
- \(\text{im } \xi_t = \{0,1\}\)
-
对于 \(t=x\)
\[ \begin{array}{l} P[\xi_t = 1]=p \\ P[\xi_t = 0]=1-p \end{array} \]